Los matemáticos y el ajedrez

Un interesante relato de como la astucia, la inteligencia y un buen saber pueden hacerte muy rico, a menos que te excedas y te granjees la enemistad de un poderoso.

Todos conocemos la leyenda que hay asociada al tablero de ajedrez y a su inventor, y si no la conocéis, yo os la cuento:
Se cuenta que al sultán de turno, que reinaba en palacio cuando se inventó el juego de ajedrez, le gustó tanto el juego que mandó llamar al inventor del juego de ajedrez para darle como premio por su invento lo que el inventor pidiera, este, muy avispado, pidió:

Por la primera casilla del tablero un grano de trigo,

Por la segunda casilla dos granos de trigo,

Por la tercera casilla cuatro granos de trigo,

y así sucesivamente hasta completar las 64 casillas que tiene el tablero.

El rey se rió de él por lo poco que pedía y por lo mucho que éste le podía a ver dado. Pero esa sonrisa burlona no le duro mucho, pronto sus consejeros le dijeron que lo que le había pedido el inventor no se lo podían conceder pues no había granos en el reino (ni siquiera en el mundo) suficientes.

Total de granos a darle = 1+2+4+8+16+. . . +2^63 = 2^64-1 = 18.446.744.073.709.551.615

La leyenda termina diciendo que pusieron al inventor a contar los granos que se debía llevar.

Esta solución no está mal, el inventor no acabará de contar los granos, se morirá antes, y por tanto no se llevará ninguno. Pero mientras se muere o no se muere es un incordio tenerlo todos los días en los almacenes de palacio, luego hay que buscar otra solución más eficaz. Si en palacio hubiera habido buenos matemáticos se hubieran ahorrado esa solución tan poco favorable. Estos le podían a ver dicho al sultán que jugara con el inventor con sus mismas herramientas pero esta vez a nuestro favor. Aprovechando que él no sabe que nosotros hemos hecho los cálculos y sabemos que no podemos concederle el deseo, podemos decirle:

Nos parece poco lo que nos pides, por ello nosotros vamos a subir tu recompensa, no sólo te vamos a dar los granos de trigo que nos pides por las 64 casillas del tablero, si no que vamos a suponer que el tablero tiene infinitas casillas y los granos de trigo que te vamos a dar serán los que nos dicte tu regla, (antes citada). El inventor penso: “Si por 64 casillas me tienen que dar un montón de trigo, por infinitas casillas se van a quedar tan empeñado que seguro que me dan la mitad del reino”. Y sin pensarlo más dijo que sí aceptaba su oferta.

Así pues los matemáticos de palacio hicieron los siguientes cálculos:

Llamemos T a los granos de trigo que tenemos que darte, luego :

T = 1+2+4+8+16+32+ . . .

T-1 = 2+4+8+16+32+ . . .

T-1 = 2 x (1+2+4+8+16+ . . .)

T-1 = 2 x T

T-2 x T = 1

T = -1

Por tanto los cálculos de los matemáticos de palacio llegaron a la conclusión de que la suma era menos un grano de trigo, así pues lo que le dijeron al inventor fue: “Dame el grano de trigo que me debe y vete en paz”.

Pero claro ésto parece un poco raro, ¿a ti no?.

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